\documentclass[a4paper,twoside,12pt]{article}
\usepackage[margin=3cm]{geometry}

\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{latexsym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{bm}
\usepackage{bbm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{ae}
\usepackage[danish]{babel}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{rotating}
\usepackage{mathdots,placeins,booktabs,array}
\usepackage{color}
\usepackage{alltt}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{fixme}
\usepackage{framed}

\newcommand{\N}{\mathbbm{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbbm{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbbm{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbbm{R}}
\newcommand{\T}{\mathbbm{T}}
\providecommand{\abs}[1]{\left\lvert #1 \right\rvert}
\renewcommand{\pmod}[1]{\, (\operatorname{mod } #1)}
\renewcommand{\bar}{\overline}

\newcommand{\1}{\mathbbm{1}}


\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}
\newcommand{\AP}{\operatorname{AP}}
\newcommand{\trace}{\operatorname{trace}}
\newcommand{\diam}{\operatorname{diam}}

\usepackage{amsthm}

\theoremstyle{plain}%default
\newtheorem{thm}{Sætning} %nummereringen foelger section
\newtheorem*{thm*}{Theorem} % thm* er nu uden nummer
\newtheorem{prop}[thm]{Proposition}
\newtheorem{lemma}[thm]{Lemma}
\newtheorem{cor}[thm]{Corollary}
\newtheorem{conj}[thm]{Conjecture}

\theoremstyle{definition}
\newtheorem{defn}[thm]{Definition}
\newtheorem{example}[thm]{Eksempel}

\theoremstyle{remark}
\newtheorem{obs}[thm]{Observation}
\newtheorem{remark}[thm]{Remark}
\newtheorem*{remark*}{Remark}
\newtheorem*{claim*}{Claim}

\theoremstyle{exerc}
\newtheorem{exerc}{Opgave}


\newcommand{\refthm}[1]{theorem~\ref{#1}}
\newcommand{\refprop}[1]{Proposition~\ref{#1}}
\newcommand{\reflemma}[1]{lemma~\ref{#1}}
\newcommand{\refcor}[1]{Corrolary~\ref{#1}}
\newcommand{\refdefn}[1]{Definition~\ref{#1}}
\newcommand{\refremark}[1]{Remark~\ref{#1}}
\newcommand{\refexample}[1]{Example~\ref{#1}}


\title{Kryptologi og RSA -- løsningsforslag til opgaver}
\author{Jonas Lindstrøm Jensen, (jonas@imf.au.dk)}
\date{}

\begin{document}
\maketitle

\section*{Løsninger}
\begin{enumerate}
\item {\color{red} \verb|JGL OGF FKI|}.
\item {\color{red} \verb|JFN OFH FJK|}.
\item \begin{alltt}
\color{red}
\color{blue}STADIGT FLERE DANSKERE OPLEVER AT DERES COMPUTERE
BLIVER ANGREBET AF VIRUS ORME OG ANDRE ONDSINDEDE
PROGRAMMER SAMTIDIG ER ANTALLET AF FORSØG PÅ AT
FRANARRE DANSKERNES KODER OG HEMMELIGE OPLYSNINGER
VED HJELP AF FALSKE EMAILS OG HJEMMESIDER STEGET
MARKANT
\end{alltt}
\item (i) 1, (ii) 6, (iii) 1.
\item (i) og (iii).
\item 4, 12, 120.
\item ${\color{red} C} = {\color{red} 9}$, og vi kan $u = 3, v = 1$.
\item $p=5$ og $q=11$ så $\phi(55) = 40$, og vi kan derfor vælge $u = 23$ og $v = 4$. Da ${\color{red} 2}^{23} = 8388608 \equiv {\color{blue} 8} \pmod{55}$ er den oprindelige besked $8$.

\end{enumerate}
\end{document}

