% LaTeX skabelon af daleif aka Lars Madsen Marts 2002
% til dels inspireret af en skabelon lavet af Soeren Have Hansen
% alle linier som starter med % ignoreres af kompileren.
% Hvis man vil bruge en linie skal man derfor fjerne %-tegnet
% og omvendt


% almindelige klasser : article, report, book, amsart, amsbook.
% kan desuden være: slides, a0poster, prosper

% almindelige klasse options:
%     12pt, 11pt, 10pt: fontstoerelser
%     leqno: alle formelnumre til venstre.
%     titlepage, notitlepage: ........
%     twocolumn: LaTeX saetter teksen i to soejler
%     twoside, oneside: beder LaTeX om at saette teksten som om 
%                       den skulle printes dobbeltsidet 
\documentclass[a4wide,11pt]{memoir}

\usepackage{a4wide}
% -----------------preamble start --------------------------

% danske bogstaver tilladt
\usepackage[latin1]{inputenc}

% dansk orddeling o.a.
\usepackage[danish]{babel}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{latexsym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amsmath}

\usepackage{a4wide}
\usepackage{mathdots}

\usepackage{bm}
% bedre fede matematik symboler via \boldmath og \pmb

\usepackage{bbm}
% alternativ til BlackBoard Bold, \mathbbm
% bbm pakken boer koeres foer eventuel brug af times, o.a. fontpakker

\usepackage{mathrsfs}
% flere kroellede matematik bogstaver, ingen smaa bogstaver
% bruges via f.eks. \mathscr{A}

\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{ae}
% til gode valg af fonte, godt specielt i forbindelse med PDF filer
% aecompl er ikke altid installeret derfor er den her udkommenteret
% men proev om den er der
%\usepackage{aecompl}


%------------------2fonte-------------------

%fonte MED matematik

%\usepackage{ccfonts} %Concrete Math fontene
%\usepackage{times} % skal bruges med
%\usepackage{mathptm} %times matematik fonte

%tekst fonte, har normalt ingen matematik font, og de bliver derfor
%sat med Computer Modern
%\uespackage{newcent} % eller |times|palatino|avant|helvet|bookman|utopia|chancery|courier|palatcm| 


%----------------------------------------

% \usepackage[all]{xy}
% \CompileMatrices %<---- denne faar den til at kompilere hurtigere
% kommutative diagrammer
% et kommutativt diagram laves saa med
% \[ \xymatrix{ 
%               A \ar[r]^{f} \ar[d]^{g} & B \ar[d]^{h}\\
%               C \ar[r]^{k} & D
%             }
% \]
% husk at der i visse tilfaelde skal { } omkring indgangene A,B,C
% eller D, specielt hvis de er lavet af alene staaende \math** kontruktioner



\usepackage{graphicx}
% \makechapterstyle{daleif2}{ 
% \renewcommand\chapnamefont{\normalfont\Large\scshape\raggedleft} 
% \renewcommand\chaptitlefont{\normalfont\Huge\bfseries\sffamily\raggedleft} 
% \renewcommand\chapternamenum{} 
% \renewcommand\printchapternum{%
%  \makebox[0pt][l]{\hspace{0.4em}% 
%   \resizebox{!}{4ex}{\chapnamefont\bfseries\sffamily\thechapter}}} 
% \renewcommand\afterchapternum{\par\hspace{1.5cm}\hrule\vskip\midchapskip} 
% } 
% \chapterstyle{daleif2}

% LaTeX kan inkludere .eps og visse .ps filer via
%\includegraphics{filnavn.eps}
% tjek noten Epslatex for mere info. Kan findes hos CTAN under info.


%\usepackage[notref,notcite]{showkeys}
% skriver labels ude i margin, meget nyttig til kladder
% benyt \usepackage[final]{showkeys} til at faa dem vaek til sidst




\usepackage[danish]{varioref}
% mere intelligente referencer
% giver kommandoen \vref som ud over at give referencen giver siden
% hvorpaa den findes.


%------------nye kommandoer-----------------------

%fjern m'et hvis man ikke vil bruge bbm pakken

% de almindelige mængder

\newcommand{\N}{\mathbbm{N}}
\newcommand{\C}{\mathbbm{C}}
\newcommand{\Q}{\mathbbm{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbbm{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbbm{Z}}
\newcommand{\F}[1]{\mathbb{F}_{#1}}
% man kan også erstatte dem med f.eks.
% \newcommand{\R}[1]{\mathbbm{R}^{#1}}
% saa vil \R{n} give R^n

\providecommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert}
\providecommand{\norm}[1]{\lVert#1\rVert}
\providecommand{\sp}[1]{\langle#1\rangle}

\providecommand{\ud}{\mathrm{d}}
\providecommand{\I}[2]{\int #1 \; \ud #2}
\providecommand{\IA}[3]{\int\limits_{#3} #1 \; \ud #2}
\providecommand{\Iab}[4]{\int\limits_{#3}^{#4} #1 \; \ud #2}
\providecommand{\qres}[2]{\left( \frac{#1}{#2} \right)}

\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}
\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}

% en operator lavet med den rigtige konstruktion
\DeclareMathOperator{\Hom}{Hom}
\DeclareMathOperator{\tr}{tr} %trace operatoren fra Mat 10
\DeclareMathOperator{\ord}{ord}


\newcommand{\morf}[4][\to]{ #2 \colon #3 #1 #4}
% saa vil \morf{F}{A}{B} give F : A -> B og med \morf[ny pil]{F}{A}{B}
% kan man faa en med en anden form for pil


%------------saetninger---------------------------
\usepackage{amsthm}
% saetninger, giver specielt proof environmentet samt \newtheorem*
% proof environmentet saetter selv en firkant i slutningen af beviset
% \qedsymbol er navnet man skal aendre hvis man vil.
% har problemer hvis beviset slutter med matematik, saa bliver
% \qedsymbol placeret for langt nede. Saet det manuelt via 
% \tag*{\qedhere} efter sidste linie i ens matematik.

%---- konstruktion af saetnings environments------
% Paa denne maade faar de alle en faelles nummerering.
% Alle overskrifterne bliver paa dansk, det er aabenlyst hvad man skal
% aendre hvis man vil have det paa engelsk
 
\theoremstyle{plain}%default
    % Fed overskrift og kursiv saetningsindhold
    %
\newtheorem{thm}{S\ae{}tning}[section] %nummereringen foelger section
\newtheorem*{thm*}{S\ae{}tning} % thm* er nu uden nummer
\newtheorem{prop}[thm]{Proposition}
\newtheorem{lemma}[thm]{Lemma}
\newtheorem{cor}[thm]{Korollar}

% definitions lignende ting 
\theoremstyle{definition}
    % Fed overskrift, almindelig font til teksten
%\newtheorem{exerc}[thm]{\O{}velse}
\newtheorem{defn}[thm]{Definition}
\newtheorem{example}[thm]{Eksempel}

% bemaerknings ligneden ting
\theoremstyle{remark}
    % kursiv overskrift, almindelig tekst
\newtheorem{obs}[thm]{Observation}
\newtheorem{remark}[thm]{Bem\ae{}rkning}
\newtheorem*{remark*}{Bem\ae{}rkning}
\newtheorem*{claim*}{P\aa{}stand}


% hvis man vil have en ting til at have sin helt egen
% tæller. f.eks. naar man er ved at skrive en side hvorpaa der kun er
% opgaver man man bruge
% 
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{exerc}{Opgave}
%

% nogle referencer til saetninger. Fjern v'et hvis du ikke vil bruge
% varioref pakken. Evt. skulle man ogsaa skrive f.eks. Saetning med
% smaa bogstaver

\newcommand{\refthm}[1]{S\ae{}tning~\vref{#1}}
\newcommand{\refprop}[1]{Proposition~\vref{#1}}
\newcommand{\reflemma}[1]{Lemma~\vref{#1}}
\newcommand{\refcor}[1]{Korollar~\vref{#1}}
\newcommand{\refdefn}[1]{Definition~\vref{#1}}
\newcommand{\refremark}[1]{Bem\ae{}rkning~\vref{#1}}
\newcommand{\refexample}[1]{Eksempel~\vref{#1}}

% nu vil `se \refthm{thm45}' give `se Saetning 45 på side 63' 

%
% \renewcommand{\qedsymbol}{.....}
%  hvis man ville have et andet symbol i slutningen af sine beviser
%

%   Ligningsnumre som (section-nr.eq-nr)
\renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}}
\numberwithin{equation}{section}
%
% i stedet for \arabic, man bruges \Alph, \alph (bogstaver) \Roman,
% \roman (romertal)
%


% ------------------------ preamble slut ----------------------------

\begin{document}

% ------------------------ titel relateret -------------------------
\begin{titlingpage}
\vspace*{70pt}
\center{\Huge{\textbf{Fraktaler}}}
\center{\Large{\emph{Mandelbrots Mængde}}}
\vspace{160pt}
\center{Foredragsnoter}
\center{\emph{Af Jonas Lindstrøm Jensen}}
\vspace{200pt}
\center{\emph{Institut For Matematiske Fag -- Århus Universitet}}
\end{titlingpage}
%
% environment til bedre kontrol over titel siden, bruges den boer
% \maketitel ikke anvendes
%

% ----------------------- selve teksten ---------------------------

\tableofcontents

\chapter{Komplekse tal}
For at vi kan forstå matematikken bag fraktaler, skal vi først kigge
lidt på et par matematiske begreber, bl.a. komplekse tal.

\section{Definition}
Man kan forestille sig de reele tal som en uendelig lang
linje med 0 i ''midten'' (det er vist svært at afgøre hvad der er
midten af en uendelig lang linje!). Forestil dig nu, at man istedet
for at se på en linje så på planen, dvs punkter i et
koordinatsystem. Dem kan man skrive som $(a,b)$ hvor $a,b$ er
almindelige reele tal. Lad os kalde dennne mængde tal for de komplekse
tal og lad os skrive $\C$ for at betegne mængden af dem.

\begin{center}
\setlength{\unitlength}{1mm}
\begin{picture}(50,50)
\thicklines
\put(5,25){\vector(1,0){40}}
\put(25,5){\vector(0,1){40}}
\put(30,35){\circle*{1}}
\put(30,37){$(a,b)$}
\put(35,25){\circle*{1}}
\put(35,27){$(x,0)$}
\end{picture}
\end{center}

Læg mærke til, at den linje der repræsenterede
de reele tal stadig er med, nemlig som 1. aksen i vores
koordinatsystem. Dvs at et reelt tal $x$ kan skrives som $(x,0)$ -- vi
vil dog oftest bare skrive $x$ i sådan et tilfælde.

Hvordan kan man nu regne med disse punkter?

\section{Aritmetik}
Hvis vi nu beslutter, at man lægger to punkter sammen ved at sige
\[ (a,b) + (x,y) = (a+x,b+y). \]
\begin{example}
Vi har at $(1,4)+(2,3)=(1+2,4+3)=(3,7)$. Læg mærke til, at vi stadig
regner med reele tal som vi plejer. Som bekendt er $3+5=8$ og
\[ (3,0) + (5,0) = (8,0). \]
\end{example}

At man sægger sådan sammen kommer nok ikke den store overraskelse, det er
nemlig også sådanman lægger vektorer sammen. Problemet kommer, når man
skal lave multiplikation. Det gør vi på følgende måde
\[ (a,b) \cdot (x,y) = (ax-by, ay+bx). \]
\begin{example}
Vi har at
\[ (1,2)\cdot(3,4) = (1 \cdot 3 - 2 \cdot 4, 1 \cdot 4 + 2 \cdot 3) =
(-5, 10). \]
Også her opfører de reele tal sig som de plejer, fx er $2 \cdot 3 = 6$
og
\[ (2,0)\cdot(3,0) = (2 \cdot 3 - 0 \cdot 0, 2 \cdot 0 + 0 \cdot 3) =
(6,0) \]
\end{example}
Man kan også trække fra og dividere, men det vil vi ikke komme ind på
her.

Vi har bemærket, at de reele tal stadig er med i de komplekse tal, som
vores nye talsystem hed,
og at de opfører sig som de plejer. Så de komplekse tal er altså en
\emph{udvidelse} af de reele tal. Læg nu mærke til, hvad der sker hvis
vi tager
\[ (0,1)\cdot (0,1) = (0 \cdot 0 - 1 \cdot 1, 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0) =
(-1,0). \]
Men $(-1,0)$ er jo det reele tal $-1$. Dvs vi har fundet et tal
$(0,1)$ der ganget med sig selv giver $-1$ -- dvs kvdratroden af $-1$!
Det er netop derfor at de komplekse tal er smarte at have. Nu har alle
tal, både positive og negative, en kvadratrod. Det har nogle spændende
matematiske konsekvenser, fx vil en andengradslingning nu altid have løsninger.

Bemærk at når vi har et ubekendt komplekst tal, vil vi ofte bare betegne det med
$c$ eller $z$ for overskuelighedens skyld.

\section{Norm}
I de reele tal kan vi tale om, at et tal er større end et andet hvis
det ligger ''længere til højre på talaksen''. Det kan vi ikke med
komplekse tal. De lader sig ikke sådan vurdere. Men til gengæld kan vi
definere størrelsen af et komplekst tal, ved at se på, hvor langt et
komplekst tal ligger fra $(0,0)$. Vi kalder denne afstand for
\emph{normen}.
\begin{defn}
Lad $(a,b)$ være et komplekst tal. Vi definerer normen af $(a,b)$ til
at være
\[ \abs{(a,b)} := \sqrt{a^2 + b^2}. \]
\end{defn}
Vi har her blot brugt afstandsformelen. Vi bruger samme notation for
normen af et komplekst tal som vi bruger til at tage numerisk værdi af
et reelt tal, og det er ikke tilfældigt. Normen af et reelt tal er nemlig det samme som numerisk værdi af tallet, idet
\[ \abs{(x,0)} = \sqrt{x^2+0^2} = \sqrt{x^2} = \abs{x}. \]

\section{Opgaver}
\begin{exerc} Udregn $(3,1) \cdot (5,8)$. \end{exerc}
\begin{exerc} Udregn $(\frac{1}{2},0) \cdot
  (\frac{\pi}{3},0)$. \end{exerc}
\begin{exerc} Bevis multiplikation med komplekse tal er kommutativ,
  dvs at det er ligemeget i hvilken rækkefølge man ganger to tal
  sammen. \end{exerc}
\begin{exerc} Find en kvadratrod af $-25$. \end{exerc}




\chapter{Grænseværdi og uendelighed}
\section{At gå mod 0 eller uendeligt}
Forestil dig, at vi har uendeligt mange reele tal $a_1, a_2, a_3,
\ldots$. I matematikken er vi ofte interesseret i, hvad disse tal
bliver ''uendeligt langt ude''. Fx er det tydeligt, at hvis vi sætter
$a_n = \frac{1}{n}$, vil $a_n$ blive uendeligt lille når $n$ bliver
uendeligt stor. Det er også klart at hvis $a_n = n$, vil $a_n$ blive
uendeligt stor, når $n$ bliver uendeligt stor.

Den matematiske definition af dette er lidt kringlet, men lad os se
lidt på den alligevel. Men for at en
følge af reele positive tal $a_n$ siges at gå mod uendeligt, skal vi for alle tal $M$ kunne
finde et $m$, sådan at når $n>m$ er $a_n > M$. Dvs at vi skal kunne
komme få så store tal som som vi gider ved at gå tilpas langt hen i følgen. Vi skriver i så fald
\[ a_n \to \infty \textrm{ for } n \to \infty \]

\begin{example} Lad $a_n = 2n$. Lad nu $N=1000$. Vi vil finde et $m$,
  sådan at når $n > m$ er $a_n > 1000$. Sæt nu $m=500$. Så er
  $a_n > 1000$ hvis $n>500$. For
\[ n > 500 \Rightarrow 2n > 1000 \Rightarrow a_n > 1000. \]
Så vi siger at $a_n \to \infty$ for $n \to \infty$. \end{example}

Vi kan også tale om at en følge af komplekse går mod uendeligt, men vi
kan ikke gøre det på samme måde, da vi jo ikke kan vurdere om et
komplekst tal er større end et andet. Så vi vil sige, at en følge af
komplekse tal $z_1,z_2,z_3,\ldots$ går mod uendeligt hvis følgen af
deres normer $\abs{z_1},\abs{z_2},\abs{z_3},\ldots$ går mod
uendeligt.

\begin{example} Lad en følge være givet ved $z_n = (n,n)$. Så er
\[ \abs{z_n} = \sqrt{n^2 + n^2} = \sqrt{2n^2} = \sqrt{2} n. \]
Vi ved at følgen $a_n=n$ går mod uendeligt, og da $\sqrt{2} > 1$ må
$\abs{z_n} > a_n$ for alle $n$, så $\abs{z_n}$ må også gå mod
uendeligt, og dermed har vi
\[ z_n \to \infty \textrm{ for } n \to \infty \]
.\end{example}

\section{Opgaver}
\begin{exerc} Hvordan tror du vi definerer at en følge $a_n$ går mod
  nul? \end{exerc}
\begin{exerc} Undersøg om $a_n = \frac{n}{10}$ går mod uendeligt. \end{exerc}
\begin{exerc} Vil følgen givet ved $z_n = (0,n)$ gå mod uendeligt? \end{exerc}
\begin{exerc} Vil følgen givet ved $z_n = (10000,23456)$ gå mod
  uendeligt? \end{exerc}

\chapter{Mandelbrot Mængden}
\section{Definition}
Lad os definere en familie af funktioner $f_c: \C \to \C, c \in \C$ ved
\[ f_c(z) = z^2 + c. \]
For $n \in \N$ lader vi nu $f^n_c$ betegne sammensætningen af $f_c$
med sig selv $n$ gange
\[ \underbrace{f_c \circ f_c \circ f_c \cdots \circ f_c}_n, \]
dvs at vi fx har $f_c^3(z) = f_c(f_c(f_c(z)))$.
\begin{example}
Hvis vi udregner ovenstående med $z=1$, $c=2$ og $n=3$ får vi
\[ f_2^3(1) = f_2(f_2(1^2 + 2)) = f_2(f_2(3)) = f_2(3^2 + 2) = f_2(11)
= 11^2 + 2 = 123 \]
\end{example}

\begin{defn}[Mandelbrot Mængden] Et komplekst tal $(a,b)$ ligger i Mandelbrot
  Mængden $M$ hvis for $c = (a,b)$
\[ f_c^n(0) \nrightarrow \infty \textrm{ for } n \to \infty. \]
Bemærk at $f_c^n(0)$'erne er komplekse, så vi skal se om normen af
den værdi vi får ved gentagen brug af $f_c$ ikke bliver uendeligt
stor. Hvis den ikke gør det, ligger $c$ i $M$.\end{defn}

\begin{example}\label{eks:2iM} Fx vil $c=(2,0)=2$ ikke ligge i Mandelbrot Mængden, idet $f_2^n(0)$ klart vil gå
mod uendeligt. De første par trin er udregnet her
\begin{align*}
f_2^1(0) &= f_2(0) = 0^2 + 2 = 2 \\
f_2^2(0) &= f_2(f_2^1(0)) = 2^2 + 2 = 4 \\
f_2^3(0) &= f_2(f_2^2(0)) = 4^2 + 2 = 18 \\
f_2^4(0) &= f_2(f_2^3(0)) = 18^2 + 2 = 326 \\
&\, \vdots
\end{align*}
Vi kan se at $f_2^n(0)$ bliver ret stor når $n$ bliver stor -- faktisk
lige så stor vi vil have den. Så vi siger at $f_2^n(0) \to \infty$ for
$n \to \infty$. \end{example}

Så hvis vi skal tjekke om et givet komplekst tal $c \in \C$ ligger i Mandelbrot
Mængden, skal vi tjekke hvordan $f_c(f_c(f_c( \cdots
f_c(f_c(0)) \cdots )))$ udvikler sig, når vi smider flere og flere
$f_c$'er på. Hvis dens norm bliver uendelig stor, er $c$ ikke i Mandelbrot
Mængden, og hvis den ikke bliver uendelig stor, er vi i Mandelbrot
Mængden. Men hvordan kan vi vide, om den vil blive uendelig stor? Vi
kan jo (trodsalt) kun lave endelig mange udregninger?

Vi vil nu se lidt på, hvordan vi kan tjekke, om et tal ligger i
$M$. Følgende sætning siger, at hvis $f_c^n(0)$ på et tidspunkt får
norm større end 2, så vil vi gå mod uendelig. Dvs at vi kan konkludere
at det givne tal $c$ ikke ligger i $M$. Vi vil dog ikke vise
sætningen. Se fx (REF) for et bevis.
\begin{thm} Lad $c \in \C$. Hvis $\abs{f^n_c(0)} \geq 2$ for et $n$, så vil
\[ f^n_c(0) \to \infty \textrm{ for } n \to \infty. \]
\end{thm}
\begin{example}
Af ovenstånde sætning får vi, ligesom vi bestluttede i
\refexample{eks:2iM}, at $2$ ikke er i $M$, da $f_2^n(0)$ allerede er
større end 2 for $n=1$.
\end{example}

\section{Billeder af Mandelbrots Mængde}
Nu er vi i stand til at kunne tjekke, om et tal ligger i $M$. Det vi
gør er, at vi ser på det komplekse plan lige omkring 0. Så løber vi en
masse punkter (komplekse tal) igennem, hvor vi for hver af dem får en
computer til at tjekke om de ligger i $M$ eller ej, Hvis punktet
ligger i $M$ farver vi punktet sort, og hvis ikke farver vi det
hvidt. Så får vi følgende billede:

\begin{center}
\fbox{\includegraphics[viewport=0 0 300 250]{mandel2.ps}}\\
\emph{Mandelbrotmængden. Billedet er fra http://astronomy.swin.edu.au/~pbourke/fractals/mandelbrot/}
\end{center}

Det kommer nok som noget af en overraskelse, at punkterne er fordelt i
et sådant smukt mønster. Umiddelbart skulle man tro, at punkterne
ville ligge i en cirkel eller lignende; men vi får dette fantastiske
mønster. Matematikken bag er ikke videre kompliceret, så at man skulle
få sådan et mønster er ret fantastisk.

Noget endnu mere fantastisk sker, hvis vi zoomer rigtig meget
ind. Det viser nedenstånde billeder, hvor vi zoomer gradvist mere ind
på den klump der er øverst på det store billede:\\
\begin{center}
\fbox{\includegraphics*{12.ps}}
\fbox{\includegraphics*{13.ps}}
\fbox{\includegraphics*{14.ps}} \\ \vspace{3pt}
\fbox{\includegraphics*{15.ps}}
\fbox{\includegraphics*{16.ps}}
\fbox{\includegraphics*{17.ps}} \\
\emph{Her zoomer vi ind på $(-0.170337,-1.06506)$. Billederne er fra
  http://astronomy.swin.edu.au/$\sim$pbourke/fractals/mandelbrot/}
\end{center}
I de ovenstående billeder kan man se noget af det, der kendetegner
fraktaler. Når man zoomer ind, vil figurer man har set før gentage
sig. I dette tilfælde er det ''lynene'' der gentager sig igen og igen.

Faktisk vil den lidt spøjse form mandelbrotmængden har gentage sig når
vi zoomer.
\begin{center}
\fbox{\includegraphics*{zoom1.ps}} 
\fbox{\includegraphics*{zoom2.ps}} \\ \vspace{3pt}
\fbox{\includegraphics*{zoom3.ps}} \\
\emph{For hvert billede zoomer vi 10 gange ind. Firkanterne viser hvor
  det er vi zoomer ind. Billederne er fra
  http://www.3dartprints.com/Morgen/about/zoom.html}
\end{center}

Lad os zoome ind et andet sted, så får vi
\begin{center}
\fbox{\includegraphics*{22.ps}}
\fbox{\includegraphics*{23.ps}}
\fbox{\includegraphics*{24.ps}} \\ \vspace{3pt}
\fbox{\includegraphics*{25.ps}}
\fbox{\includegraphics*{26.ps}}
\fbox{\includegraphics*{27.ps}} \\
\emph{Her zoomer vi ind på $(0.761574-0.0847596)$. Billederne er fra
  http://astronomy.swin.edu.au/$\sim$pbourke/fractals/mandelbrot/}
\end{center}
I både denne og den første billedserie har vi i det sidste billede zoomet 15625 gange længere ind end i det første!

Hvis i selv vil lege med at zoome rundt i Mandelbrotmængden, kan i gå
ind på http://www.fractalcenter.de/zoom.php?zoom=3.

\section{Kaos}
Hvad er så sammenhængen mellem disse fraktaler og kaos? Vi så, da vi
zoomede ekstremt langt ind på fraktalen, at derstadig var et
mønster. Der var både punkter der var i $M$ og punkter der ikke var i
$M$. Det betyder at hvis vi bevæger os bare ganske lidt rundt, vil vi
gå fra punkter der er i $M$ til punkter der ikke er i $M$ ekstremt
mange gange. Det vil være ganske \emph{kaotisk}. Men
ikke desto mindre er der et mønster. Vi kan jo se mønsteret! Og
det er netop her at kaos og Mandelbrotfraktalen hænger sammen.

Kaos er et udtryk for uforklarlige hændelser i ellers simple
systemer. Fx opfører aktiemarkedet sig ganske kaotisk, selvom reglerne
for det er ret simple. Her vores formel ganske simpel. Men den opfører
sig uhyre kaotisk, men dog ikke tilfældigt. Vi kan jo som sagt se et
mønster -- et smukt mønster oven i købet.

\section{Opgaver}
\begin{exerc} Beregn $f_3^4(0)$. \end{exerc}
\begin{exerc} Er $(1,0)=1$ i $M$? \end{exerc}
\begin{exerc} Er $(0,1)$ i $M$? \end{exerc}

\chapter{Afsluttende bemætrninger}
\section{Matematisk modellering}
På Århus Universitet har vi i flere gange haft besøg af kronprinsesse
Marys far, John Donaldson. Han beskæftiger sig bl.a. med noget
kaosteori. Hans felt hedder matematisk modellering, og det går ud på
at lave matematiske modeller (dvs finde en slags formler) for ting fra virkeligheden. Fx kan man
lave modeller for aktiemarkedet, vejret etc. Som regel er disse
modeller \emph{kontinuerte}, dvs at en lille ændring har små
konsekvenser i modellen, og en stor ændring har store konsekvenser i
modellen. Fx vil en lille temperaturstigning kun ændre vejret
lidt.

Men nogle gange har man matematiske modeller der ikke opfører sig så
pænt. Af og til har man eksempler på, at en meget lille ændring kan
foresage meget voldsomme konsekvenser. Et eksempel er, hvis en bil
rammer en mur. Indtil bilen rammer muren, er modellen pæn og
kontinuert, men i det øjeblik bilen rammer muren, sker der ekstremt
mange ting i løbet af meget kort tid -- kaos.

\section{Videre studier}
Videre studier af Mandelbrot og andre fraktaler er bedst gjort på
internettet. Kontakt evt. mig (jonas@imf.au.dk) for nogle links. Det
er også denne adresse der skal bruges til kommentarer og rettelser til
disse noter.


%\begin{verbatim}
%1 INPUT c
%2 z=0
%3 n=0
%4 DO
%5 z = z^2 + c
%6 n = n + 1
%7 IF n >= 100 THEN c IS IN M, END
%8 LOOP UNTIL abs(z) > 2
%9 c IS NOT IN M!
%\end{verbatim}
%Det der sker er, at vi får et $c$ givet i linje 1. I linje 2 og 3
%sætter vi $z$ og $n$ til at være lig med nul. $n$ skal holde styr på,
%hvor mange gange vi har taget $f_c$ på sig selv, og $z$ er det
%resultat vi er nået til. I linje 4 siger vi, at
%vi vil gentage de følgende linjer, indtil vi møder et loop. I linje 5 tager vi $f_c$ på $z$, og i linje 6 lægger vi 1 til
%$n$, da vi jo netop har taget $f_c$ en gang til. I linje 7 tjekker vi,
%om vi har lavet mere end 100 gentagelser. Hvis vi har det, beslutter
%vi at $c$ må ligge i $M$. Linje 8 siger, at her skal vi stoppe vores
%løkke og gå videre hvis $\abs{z} > 2$. Vores sætning sagde jo netop,
%at hvis vi kommer over 2, er der ingen grund til at fortsætte. Og
%linje 9 siger så, at så er $c$ ikke i $M$.








% ---------------------- her slutter den almindelige tekst --------

% \appendix % skifter kapittel el. afsnitsnummerering til store
% bogstaver

% ---------------------- her skrives ens appendices---------------

% ---------------------- slut appendix ---------------------------

% ------------------ litteraturliste -----------------------------

% man citerer via \cite{markoer}
% pakken natbib giver flere muligheder


% Liste  skrevet direkte i .tex filen. 

% \begin{thebibliography}{WWW} %<----- WWW breddeste indgang i nummereringen
% \bibitem[alternativ nummererings tekst]{markoer} Teksten som skal i
% litteraturlisten.
%
% \bibitem{markoer En ny bog.
% \end{thebibliography}

%\begin{thebibliography}{WWW} %<----- WWW breddeste indgang i nummereringen
%\end{thebibliography}


% ved brug af eksterne BibTeX filer

% \bibliographystyle{plain} % eller unsrt, abbrv eller alpha
% \bibliography{bibfilnavn} % bemaerk ingen endelse 
%
% husk foerste gang man citerer en bog, skal man foerst kompilere
% filen, saa bruge `bibtex filnavn' og saa kompile 2-3 gangen igen.
%
% via \nocite{markoer} bliver bogen med denne markoer sat ind i
% litteraturlisten uden at vaere citeret.
% \nocite{*} indsaetter ALLE boeger i bibtex filen i litteratur listen.  

\end{document}

